Problem des Monats Juni 2007

Klassenstufen 9 - 11

Ein Punktemuster

In einem ebenen Punktegitter (gemeint sind alle Punkte in einem Koordinatensystem mit ganzzahligen Koordinaten) wird schrittweise ein Punktemuster aufgebaut:

  1. Schritt:
    Ein beliebiger Punkt wird ausgewählt. Wir beschreiben die Anzahl der im 1.Schritt A(1) festgelegten Punkte mit der Gleichung A(1) = 1.
  2. Schritt:
    Zu diesem Punkt fügen wir genau diejenigen vier Gitterpunkte hinzu, die zum ersten Punkt den Abstand 1 haben. Folglich gilt: A(2) = 1 + 4 = 5.
  3. Schritt:
    Nun fügen wir zu diesen fünf Punkten genau diejenigen acht Gitterpunkte hinzu, die den Abstand 1 haben und bisher noch nicht im Muster erfasst sind. Folglich gilt A(3) = 5 + 8 = 13.
  1. Zeichne das Muster bis einschließlich zum 4. Schritt und berechne dann die Anzahl A(7) der Punkte, die das Punktemuster nach Ausführung des 7.Schrittes hat.
  2. Hans will wissen, wie viele Punkte nach dem 2007. Schritt auf die angegebene Weise erfasst sind.
    Leite eine geeignete Formel her und berechne mit deren Hilfe A(2007).
  3. Betrachte nun dieses Muster im Raum, wobei B(1) bedeutet, dass im 1. Schritt ein beliebiger Punkt ausgewählt wurde.

Ermittle die Anzahlen B(2), B(3) und B(4) dieses räumlichen Punktmusters.

Begründe deine Antwort!

Abgabetermin: Montag, den 09. Juli 2007

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